求和符号和连乘符号
求和符号 ($\sum$)
普通书写方法
在数学中，我们经常需要求一个函数在一个连续区间上的和，因此我们定义了一个符号叫求和符号，其为 $\sum$，读作 $\sigma$（中文为西格玛）。
它的表示方法如下：
$$
\sum_{i=a}^b f(i)=f(i)+f(i+1)+f(i+2)+\ldots+f(b-1)+f(b)
$$
$a$ 可以大于 $b$ 吗
当然是可以的，这种情况下求和就是倒过来的，也就是：
$$
\sum_{i=a}^b f(i)=f(a)+f(a-1)+f(a-2)+\ldots+f(b-2)+f(b-1)+f(b)
$$
等价于 $\sum_{i=b}^a f(i)$
变量一定是 $i$ 吗？
不是的，很多时候还有 $j$ 和 $k$
求和符号的其他书写方法
比如：
$$
\sum_{i=0}^{\infty}f(i)
$$
这种情况下允许省略上界：
$$
\sum_{i=0}f(i)
$$
此外，有时候如果不写上下界也能清晰的表达出式子的意思，可以上下界都不写，或者只留迭代的变量：
$$
\sum_{}a=\sum_{i=1}^{n}a_i
$$
$$
\sum_{i}\sum_{j}a_{ij}
$$
求和符号的性质
由乘法分配律得：
$$
\sum_{i=a}^b f(i)k= k(\sum_{i=a}^b f(i))
$$
对于数列 $1,2,3,4,5,6,7$，它们的求和也就是 $\sum_{i=a}^b i$ 为：
$$
\sum_{i=a}^b i = \frac{1}{2}(b+1-a)(a+b)
$$
证明略。
连乘符号 ($\prod$)
这没啥好讲的，和求和符号一样，只不过 $\sum$ 成了 $\prod$，加变乘。
也就是说 $\prod_{i=a}^b f(i)$ 等价于：
$$
f(a)\times f(a+1)\times f(a+2)\times \ldots \times f(b-1)\times f(b)
$$
其中在 $a=1$，其等价于 $b!$。
2024-04-13 10:08:32
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