这里的 “减小边缘效应，平滑频谱，提高估计的稳定性” 是针对重叠数据块的作用
1. 什么是“边缘效应”？
边缘效应的来源
窗口函数的影响：窗口函数（如汉宁窗）会显著降低数据块两端样本的幅度，边缘的样本因此对频谱估计贡献很小，甚至几乎没有贡献。截断效应：信号在计算离散傅里叶变换（DFT）时，通常是有限长度的。信号截断会导致频谱失真，主要体现在频谱泄漏和噪声增大。
边缘效应的问题
如果没有重叠，窗口函数对数据块边缘的样本衰减非常强，这些样本的频率信息会被忽略，导致频谱估计不完整。数据块之间没有任何样本共享会加剧这一问题。
2. 如何通过重叠“减小边缘效应”？
重叠的意义
数据块重叠（如 50% 重叠）确保一个样本能够出现在多个数据块中：
当样本在一个数据块中靠近边缘并受到强烈衰减时，它可能在另一个数据块的中心，权重最大。通过这种方式，每个样本的信息在不同数据块中都会被考虑到。
效果
重叠数据块后：
边缘样本的信息得到了补偿，因为它们在不同数据块中会被不同程度地考虑。信号的完整性提高，频谱估计变得更加稳定。
3. 什么是“平滑频谱”？
频谱估计的平滑效果
单个数据块的频谱估计（如周期图）可能会因为数据块的长度有限而出现较大的方差（频谱上起伏较大）。重叠后，每个数据块的频谱估计会包含部分相同的样本信息。将这些重叠数据块的频谱估计进行平均，可以减少频谱的随机起伏，使结果更平滑。
数学上的体现
假设每个数据块的周期图为 P1(f),P2(f),...,PK(f)P_1(f), P_2(f), ..., P_K(f)P1(f),P2(f),...,PK(f)，那么重叠后的 Welch 方法通过以下公式得到最终的 PSD：
PWelch(f)=1K∑k=1KPk(f)
P_{\text{Welch}}(f) = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^K P_k(f)
PWelch(f)=K1k=1∑KPk(f)
重叠让每个样本贡献的信息在多个数据块中被重复考虑，平均化处理使得结果更加平滑。
4. 什么是“提高估计的稳定性”？
频谱估计的方差问题
不重叠时，单次周期图估计可能会因为数据块中信号样本的随机性而产生较大的估计偏差。重叠数据块后，通过多次周期图估计并取平均，可以减少随机噪声的影响，从而提高估计结果的稳定性。
稳定性的体现
稳定性体现在重叠后的频谱估计对噪声的敏感性降低，结果更接近真实的信号频谱。换句话说，重叠使得估计结果对数据块起始点位置的依赖性降低。
5. 举个实际例子
假设我们有一个信号 x[n]=sin(2πfn)+噪声x[n] = \sin(2 \pi f n) + \text{噪声}x[n]=sin(2πfn)+噪声，信号长度为 100010001000。我们比较以下三种情况：
情况 1：不加窗且不重叠
边缘效应：信号边缘的样本直接被截断，造成频谱泄漏。频谱不平滑：周期图中随机起伏较大。稳定性差：结果对噪声非常敏感。
情况 2：加窗但不重叠
边缘效应有所改善，但边缘样本的贡献仍然较低。频谱较平滑，但噪声仍然显著。稳定性一般，估计结果依赖于数据块起点。
情况 3：加窗且重叠 50%
边缘效应显著减少：每个样本的贡献通过多个数据块平均化。频谱平滑：通过多次周期图平均化，减少了随机起伏。稳定性高：结果对噪声的敏感性显著降低。
6. 用 Python 示例演示
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import welch
# 模拟信号
fs = 1000 # 采样频率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 时间轴
f = 50 # 信号频率
signal = np.sin(2 * np.pi * f * t) + 0.5 * np.random.randn(len(t)) # 信号 + 噪声
# Welch 方法
f_welch, Pxx_welch = welch(signal, fs=fs, nperseg=256, noverlap=128, window='hann')
# 绘图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.semilogy(f_welch, Pxx_welch)
plt.title('Welch Method - Smoothed PSD')
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Power Spectral Density')
plt.grid()
plt.show()
7. 总结
作用解释减小边缘效应重叠数据块后，每个样本在多个数据块中出现，边缘样本的贡献得到补偿。平滑频谱通过重叠数据块的频谱平均化，减少随机噪声的影响，使频谱估计更加平滑且接近真实信号频谱。提高估计稳定性重叠数据块减少了估计对单个数据块的依赖性，降低了对噪声的敏感性，从而提高结果的稳定性和可靠性。
